Векторы и матрицы - Детерминант
Разбираюсь с физическим и геометрическим смыслом матриц.
Векторы (1,3) и (3,1)
Вектор в координатной плоскости можно обозначать двумя цифрами - координатами Х и Y конца вектора, - при этом по умолчанию считается, что начало вектора находится в центре координат (0,0).
Соответственно, можно и длину такого вектора определить - по теореме Пифагора.
В других случаях вектор обозначается одной прописной буквой - а, b, с и т.д. Из-за этого происходит довольно много путаницы, особенно когда переходим от векторов к матрицам.
Векторы с координатами можно объединять в матрицы и производить с ними загадочные действия, в результате которых почему-то получаются правильные ответы. Загадочные эти действия потому, что смысл их не улавливается. Приходится довольно долго возиться, чтобы понять, откуда что берется.
Например, детерминант (определитель) матрицы.
Матрица первого порядка (одномерная) - это когда у вектора одна циферка, и эта циферка означает длину вектора.
Матрица второго порядка (двумерная): векторы на координатной плоскости, обозначаются двумя цифрами, и эти цифры обозначают длину проекций на оси Х и Y (первый рисунок поста).
А вот дальше - с определителем матрицы - уже не так просто понять, откуда взялось вот это выражение (ad-bc), которое равно площади параллелограмма, образованного векторами.
А взялась эта площадь из геометрических соображений. Пусть у нас два вектора ОА (3,4) и ОС (2,1) и матрица, составленная из координат этих векторов
Из чертежа видно,
что, если из площади квадрата OHBD вычесть площади треугольников OCF, ABG, OAK, CEB и вычесть площадь прямоугольников FCED и KHGA, то как раз останется площадь параллелограмма ОАВС, образованного векторами ОА и ОС.
Площадь параллелограмма равна определителю матрицы.
А когда определитель матрицы равен нулю, векторы сливаются, площади нет, матрица вырождена.
Векторы (1,3) и (3,1)
Вектор в координатной плоскости можно обозначать двумя цифрами - координатами Х и Y конца вектора, - при этом по умолчанию считается, что начало вектора находится в центре координат (0,0).
Соответственно, можно и длину такого вектора определить - по теореме Пифагора.
В других случаях вектор обозначается одной прописной буквой - а, b, с и т.д. Из-за этого происходит довольно много путаницы, особенно когда переходим от векторов к матрицам.
Векторы с координатами можно объединять в матрицы и производить с ними загадочные действия, в результате которых почему-то получаются правильные ответы. Загадочные эти действия потому, что смысл их не улавливается. Приходится довольно долго возиться, чтобы понять, откуда что берется.
Например, детерминант (определитель) матрицы.
Матрица первого порядка (одномерная) - это когда у вектора одна циферка, и эта циферка означает длину вектора.
Матрица второго порядка (двумерная): векторы на координатной плоскости, обозначаются двумя цифрами, и эти цифры обозначают длину проекций на оси Х и Y (первый рисунок поста).
А вот дальше - с определителем матрицы - уже не так просто понять, откуда взялось вот это выражение (ad-bc), которое равно площади параллелограмма, образованного векторами.
А взялась эта площадь из геометрических соображений. Пусть у нас два вектора ОА (3,4) и ОС (2,1) и матрица, составленная из координат этих векторов
Из чертежа видно,
что, если из площади квадрата OHBD вычесть площади треугольников OCF, ABG, OAK, CEB и вычесть площадь прямоугольников FCED и KHGA, то как раз останется площадь параллелограмма ОАВС, образованного векторами ОА и ОС.
Площадь параллелограмма равна определителю матрицы.
А когда определитель матрицы равен нулю, векторы сливаются, площади нет, матрица вырождена.