marta_inj (marta_inj) wrote,
marta_inj
marta_inj

Category:

Векторы и матрицы - Детерминант

Разбираюсь с физическим и геометрическим смыслом матриц.



Векторы (1,3) и (3,1)

Вектор в координатной плоскости можно обозначать двумя цифрами - координатами Х и Y конца вектора, - при этом по умолчанию считается, что начало вектора находится в центре координат (0,0).

Соответственно, можно и длину такого вектора определить - по теореме Пифагора.

В других случаях вектор обозначается одной прописной буквой - а, b, с и т.д. Из-за этого происходит довольно много путаницы, особенно когда переходим от векторов к матрицам.

Векторы с координатами можно объединять в матрицы и производить с ними загадочные действия, в результате которых почему-то получаются правильные ответы. Загадочные эти действия потому, что смысл их не улавливается. Приходится довольно долго возиться, чтобы понять, откуда что берется.

Например, детерминант (определитель) матрицы.



Матрица первого порядка (одномерная) - это когда у вектора одна циферка, и эта циферка означает длину вектора.


Матрица второго порядка (двумерная): векторы на координатной плоскости, обозначаются двумя цифрами, и эти цифры обозначают длину проекций на оси Х и Y (первый рисунок поста).

А вот дальше - с определителем матрицы - уже не так просто понять, откуда взялось вот это выражение (ad-bc), которое равно площади параллелограмма, образованного векторами.

А взялась эта площадь из геометрических соображений. Пусть у нас два вектора ОА (3,4) и ОС (2,1) и матрица, составленная из координат этих векторов
Из чертежа видно,


что, если из площади квадрата OHBD вычесть площади треугольников OCF, ABG, OAK, CEB и вычесть площадь прямоугольников FCED и KHGA, то как раз останется площадь параллелограмма ОАВС, образованного векторами ОА и ОС.



Площадь параллелограмма равна определителю матрицы.

А когда определитель матрицы равен нулю, векторы сливаются, площади нет, матрица вырождена.

Tags: Смысл математики
Subscribe

  • Ожидания

    Иногда бывает, что-то такое придумаешь для своих учеников-школьников, и думаешь: «Вот как нам всем будет интересно!» и собираешь материалы, покупаешь…

  • Коллективный разум

  • Простенькие бытовые сливы энергии

    Сын-подросток и мать. Сыну тысячу раз было сказано, чтобы мыл посуду за собой как минимум к приходу матери с работы. Но в очередной (двухсотый) раз…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 3 comments