Матрицы и их смысл - Часть 1. Определитель и движение плоскостей

Помнится, на первом курсе биофака нам читали курс высшей математики. И входило в него... ни за что не угадаете, что именно... Та-дам! Матрицы и дифференциальные уравнения! Вы думаете, они мне в биологии хоть раз и хоть как-то пригодились? Не-а! Ни разу и никак! И ни в одной биологической-медицинской научной статье я ни разу не встречала даже отсылок к этим математическим методам. Теперь я думаю, что преподаватель математики решил изучить с нами именно эти темы из высшей математики просто потому, что только с ними мы, на его взгляд, хоть как-то справились бы.

Ну да дело прошлое, и оставалось от него смутное воспоминание, что матрицы это таблицы чисел, и что то, что мы с ними делали, было легко. Это уже неплохо - ранешнее чувство легкости и сейчас придает уверенности, что в теме я разберусь, если надо.

Определитель матрицы





Вот только в университете про геометрический смысл определителя нам ничего не говорили, а просто давали формулу для расчета:






О, определитель отрицательный! Что означает отрицательность, если определитель - это площадь или объем фигуры? Они же не могут быть отрицательными?

Цифры 1 и 2 на рисунке означают первую строку и вторую строку

А это, похоже, одна и та же квадратная плоскость, находящаяся под одним и тем же углом к наблюдателю, но повернутая разными сторонами вверх. В матрице же при этом строки меняются местами.

Если же поменять местами столбцы в матрице, произойдет "отражение" плоскости относительно линии 45 градусов, ну и знак определителя опять же изменится (плоскость повернется к "наблюдателю" другой стороной)


Сдвиг чисел на одну позицию против часовой стрелки приводит к тому, что короткое (дальнее) ребро плоскости удлиняется, а длинное (ближнее) укорачивается, как если бы ближний угол плоскости приблизился к "наблюдателю".