marta_inj (marta_inj) wrote,
marta_inj
marta_inj

Category:

В поисках смысла синуса-4

Дифференцирование применяется широко, даже очень. С помощью производной определяют скорости изменений: больше производная - быстрее меняется, меньше производная - медленней меняется, отрицательная производная - движение назад, убывание значения. Однако сам смысл операции ускользает, причем категорически.
Вот первая производная синуса равна косинусу, вторая - минус синусу.



Смотрим на чертеж, из которого выводятся все основные тригонометрические тождества. Где здесь (-sin)? Нет его! Он, может, и есть, но за пределами этой плоскости. Как и (-cos).



Однако если совместить полярную систему координат и комплексную плоскость, то увидим, что дифференцирование синуса указывает на движение синуса по часовой стрелке по комплексной плоскости. А (-sin) и (-cos) - это вытаскивание скрытых в полярной системе координат значений в мир действительных чисел. И увидим, что четвертая производная синуса выводит операцию на второй круг.




И такие развороты на 90 градусов по часовой стрелке обнаруживаются при дифференцировании других тригонометрических выражений, правда, только первой степени.



Из обсуждения экспоненты:
… Когда–то было замечено, что четвёртая производная от синуса равна синусу, то же с косинусами. А вторая производная синуса (косинуса) равна минус синусу (косинусу). Вот только первая производная подкачала: синусы переводит в косинусы, косинусы в минус синусы. Хотя, тоже ведь недалеко уводит, верно?.. … Что будет, если интегрировать синус в косинус по периоду? Ноль. А квадрат — уже не ноль. А что, если интегрировать их произведение? Синус на косинус — синус двойного угла — ноль. И это очень круто. Потому что обобщается на интегрирование произведений синусов и косинусов с синусами и косинусами по любым кратным углам — получается ноль. А это значит, что… Короче, благодаря этому любую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье (сумма с коэффициентами синусов и косинусов кратных углов). Любую непериодическую — в интеграл Фурье. Фурье — голова. Я бы ему палец в рот не положил бы…
… А потом открыли мнимую единицу и комплексную арифметику. После чего придумали способ связать синусы и косинусы (привет круги и вообще все периодические процессы) и экспоненту — вот когда самый смак с жирком потёк. Благодаря безумной простоте экспоненты и дивному свойству синусов и косинусов раскладывать любую функцию стало возможным описывать практически любые процессы. Наиболее простые и, по удивительному совпадению, самые полезные представляются комплексными экспонентами.
Tags: Геометрия, Смысл математики
Subscribe

  • На примере котиков

    Разве можно спокойно пройти мимо мирно спящего кота?.. Вот котик уютно свернулся или наоборот вольно раскинул лапы, лежа кверху пузом... смотрю на…

  • Простенькие бытовые сливы энергии

    Сын-подросток и мать. Сыну тысячу раз было сказано, чтобы мыл посуду за собой как минимум к приходу матери с работы. Но в очередной (двухсотый) раз…

  • Нужно ли уметь завязывать шнурки?

    Зачем ребенку завязывать шнурки, если у него есть мама? А зачем взрослому "завязывать шнурки", если есть "специально обученные люди", которые все…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 12 comments

  • На примере котиков

    Разве можно спокойно пройти мимо мирно спящего кота?.. Вот котик уютно свернулся или наоборот вольно раскинул лапы, лежа кверху пузом... смотрю на…

  • Простенькие бытовые сливы энергии

    Сын-подросток и мать. Сыну тысячу раз было сказано, чтобы мыл посуду за собой как минимум к приходу матери с работы. Но в очередной (двухсотый) раз…

  • Нужно ли уметь завязывать шнурки?

    Зачем ребенку завязывать шнурки, если у него есть мама? А зачем взрослому "завязывать шнурки", если есть "специально обученные люди", которые все…