marta_inj (marta_inj) wrote,
marta_inj
marta_inj

Category:

А вот и геометрия к биологии и свету подтянулась



Правозакрученность биомолекул и поляризация света уводят в такие дебри математики/физики/философии, что даже интересно становится, куда это вообще может завести?

Поляризация света хорошо описывается сферой Пуанкаре.

Центр сфе­ры Пу­ан­ка­ре от­ве­ча­ет не­по­ля­ри­зо­ван­но­му све­ту, а час­тич­но по­ля­ри­зо­ван­ный свет ото­бра­жа­ет­ся точ­кой внут­ри сфе­ры.



Сфера Пуанкаре трехмерная.

А что такое трехмерная сфера? Проведем аналогию. Наша планета - Земля - может рассматриваться как двумерная сфера, плоскость, натянутая на шар. Человек, который идет по прямой вокруг земного шара, рано или поздно вернется к началу пути с противоположной стороны.
Наша трехмерная Вселенная также может оказаться поверхностью четырехмерного шара. Как мы это поймем? А космические корабли, отправившиеся на "край Вселенной", будут возвращаться с противоположной стороны!

Корабли у нас пока так далеко не летают, а вот кометы вполне летают. И, как мы можем заметить, кометы, улетая за пределы видимости, возвращаются с противоположной стороны.



Вот еще описание сферы Пуанкаре:

Французский математик Анри Пуанкаре, один из предшественников Эйнштейна, ухитрился придумать любопытную модель замкнутого сферического пространства. Вот что он советует вообразить.

В шаровом сосуде находится некая среда, в которой плавают предметы и существа, наделенные весьма фантастическими свойствами. При охлаждении и среда и предметы абсолютно одинаково сжимаются, причем при нуле градусов обращаются в точки. Кроме того, световые лучи в этой среде преломляются тем сильнее, чем ниже температура. Шар снаружи заморожен до нуля градусов. А изнутри, из центра, разогрет. И от центра к периферии температура плавно снижается. Еще условие: существо в шаре не должно ощущать перемен температуры. Ему всегда "не жарко, не холодно". Вот и все.

По вашей командировке я обретаю указанные свойства, переселяюсь в шар Пуанкаре (пусть висящий где-то в космосе, в невесомости) и, допустим, обитаю в нем в полном одиночестве. Тем не менее я замечаю вокруг множество человеческих фигур. Всюду я вижу себя и только себя - и впереди, и сзади, и со всех сторон. Световые лучи идут замкнутыми путями. Приближаясь к краям шара, они, плавно преломляясь, заворачивают внутрь, так что эти края невозможно увидеть, даже находясь совсем рядом с ними. Завернув, лучи возвращаются туда, откуда вышли. Вот и получается, что передо мной - моя спина, надо мной - подошвы моих ног, подо мной - моя макушка. Стреляя вперед из светового пистолета, я, если захочу, попаду в собственный затылок.

Разумеется, луч представляется мне прямым. Считая его эталоном прямизны, я не замечаю кривизны своего пространства. Ее нельзя обнаружить и движением: шагая вдоль луча, я открываю лишь существование предельно большого расстояния, так как вскоре возвращаюсь к месту старта. Стенки шара мне совершенно недоступны. Когда я подхожу к ним, то сжимаюсь вместе с окружающей средой, и одновременно сжимаются все расстояния вокруг меня, все длины, все высоты. В любой точке шара я не замечаю изменения своих размеров. Поэтому всюду я воспринимаю окружающее пространство так, будто нахожусь в его центре. И не вижу нигде никаких границ своего маленького мирка. Он конечен по объему, но для меня безграничен. Очень красивая модель!


При поиске по словам "сфера Пуанкаре" вываливается неприличное количество гомеоморфности. Это о том, что из куба при раздувании можно получить шар, а из бублика - нет. Но из бублика можно получить кружку

Гомотопическая эквивалентность непрерывности бублика и кружки


Представим себе мыслящее существо, живущее внутри какой-либо геометрической фигуры и не обладающее возможностью посмотреть на эту фигуру извне, «со стороны». Для него фигура, в которой оно живёт, образует Вселенную. Представим себе также, что когда объемлющая фигура подвергается непрерывной деформации, существо деформируется вместе с нею. Если фигура, о которой идёт речь, является шаром, то существо никаким способом не может различить, пребывает ли оно в шаре, в кубе или в пирамиде. Однако для него не исключена возможность убедиться, что его Вселенная не имеет формы тора или кренделя.

Существенное значение для понимания поляризации оптического излучения имело её проявление в эффектах интерференции света и, в частности, тот факт, что два световых луча с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации непосредственно не интерферируют.
На рис. 2 изображены состояния поляризации оптического излучения, соответствующие разл. точкам комплексной плоскости Хr+iXi. Состояния поляризации, характеризующиеся постоянной разностью фаз между Ex и Ey располагаются




Рис. 2. Состояния поляризации, соответствующие различным точкам декартовой комплексной плоскости. Начало координат и бесконечно удалённая точка соответствуют базисным состояниям горизонтальной и вертикальной линейной поляризации.

Сфера единичного радиуса, соответствующая всем состояниям полностью поляризованного света, совпадает со сферой Пуанкаре, а все точки внутри этой сферы соответствуют состояниям частичной поляризации.
В квантовой электродинамике с поляризации оптического излучения связывают спиновое состояние фотонов, образующих световой пучок. Так, право- или левоциркулярно поляризованный свет соответствует потоку фотонов с проекцией спина на направление распространения (спиральностью) + 1 или -1. Эллиптически поляризованному свету соответствует суперпозиция спиновых состояний электромагн. поля



Если кто-то уже потерялся во всех этих геометрических штуках - так мы все еще пытаемся разобраться в том, как свет преломляется и отражается, а значит, и в том, как прочие электромагнитные волны ведут себя.
И где живут.

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью



Tags: Геометрия, Мерность, Свет, Смысл математики
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 11 comments