marta_inj (marta_inj) wrote,
marta_inj
marta_inj

Category:

Сложение степеней в круге



Деление степеней не дается. Впрочем, неудивительно. Вот что пишут по этому поводу:

Как известно разные всякие операции, и те которые производятся над числами, и те, что над объектами реального мира - можно разделить на "прямые" и "обратные". Последние выполнить гораздо труднее. (Например: забить в доску гвоздь (особенно если по самую шляпку) куда как проще чем потом его обратно оттуда вытащить.) А в математике для обратных операций еще и приходится расширять множество чисел. Вот как раз из соображений справедливости: прямая операция применима к любому числу, или любой паре чисел, если двухместная, и её результат всегда принадлежит к тому же множеству объектов, что и её операнды, а обратная, видите ли, нет.

Сначала у людей были только натуральные числа - с их помощью яблоки считали (и корзины, куда их собирались складывать), ну или мамонтов на пастбище - дело то как раз происходило примерно в те самые времена. Складывать можно, разумеется, любые натуральные числа - получается опять натуральное число. Но вот вычитать...

Сначала постановили что вычитать большее из меньшего безсмысленно. (Ну в самом деле, как можно взять из корзины семь яблок, если их там только три? Никак!)

Но потом (а к тому времени деньги уже давно были в ходу) придумали ноль и отрицательные числа и стали трактовать их как "долг". То есть смысл для таких операций, хоть и не сразу, но нашелся.

Операция умножения тоже применима к любым натуральным числам, а вот обратная к ней - деление на равные части - для многих пар даёт остаток. А деление меньшего на большее сначала тоже считали бессмысленным, но потом (причем куда раньше изобретения ноля) признали полезным для обозначения частей целого и узаконили как "натуральные дроби".

Операция возведения в степень, изображающая многократное умножение числа самого на себя, придумана по аналогии с операцией умножения, заменяющей многократное сложение числа самого с собою. Но вот обратная к ней, известная как нахождение корня такой-то степени... На этом, кстати, сломались древние греки: обнаружили что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. (Теорему Пифагора они уже знали.) То есть, если длину стороны принять за единицу, то точная длина диагонали не выражается никакой натуральной дробью. В результате чего, посыпав голову пеплом, отказались от чисел вообще, перейдя исключительно к геометрическим построениям!

Много-много позже такие числа всё-таки узаконили, обозвав, правда, "иррациональными". (Причем их оказалось гораздо больше чем "рациональных". И это при том, что даже натуральных чисел, коие всего лишь подмножество рациональных, и то - бесконечность!) Некоторым наиболее популярным иррациональным числам дали собственные имена. Наиболее известные из них это числа Пи и Е, ну еще может быть Тау (коэффициент ряда Фибоначчи равный один плюс корень из пяти и всё это делённое на два). Тут пришла пора распространить действие всех известных на тот момент операций на все известные на тот момент числа, и этот фокус более-менее получился - ну кроме некоторых исключительных случаев. Причем казалось-бы самых простых. Вот не получается деление на ноль. Но ноль - он ведь один единственный. Для него одного вполне можно сделать исключение. (И к тому же - если очень хочется - можно считать что деление любого числа на ноль даёт бесконечность. А деление его же на бесконечность - соответственно даёт ноль.) В остальном с
участием в умножении и делении отрицательных и нецелых чисел никаких сложностей больше не возникло. Перешли к возведению в степень. Отрицательную степень стали трактовать как многократное деление единицы на это число. (А возведение в нулевую - соответственно умножение или деление ноль раз - вот единица и остаётся.) Возведение в дробную степень - как нахождение корня... На радостях ввели обратную к степенной функции - логарифмическую, и тут...

Да не тут, а гораздо раньше. Еще когда только-только придумали отрицательные числа и взялись их не только складывать но и умножать, обнаружили что произведение двух отрицательных чисел неизменно даёт положительное. А значит сыскать такое число, умножив которое само на себя можно было бы получить отрицательный результат (даже для самого простейшего случая - единицы) решительно невозможно. Таковых чисел просто нет!

То есть квадратных корней для отрицательного числа не дождёшься, в то время как у положительного числа их сразу два. Нечестно, несправедливо, судью (ну или кто там всем этим заведует) на мыло! А давайте, сказали великовозрастные детишки-математики, такое число просто выдумаем. Выдумали, обозначили буквой i и обозвали "мнимым", потому как ничему реальному не соответствует и существует исключительно в их воображении.

Присмотрелись по-внимательнее - батюшки-светы! Выдумали то только одно мнимое число (то, которое будучи умножено само на себя, даёт в результате минус единицу), а получили столько же сколько "реальных" - целую числовую ось. Вредное число i, если умножить на него любое реальное число, делает его мнимым. И эта мнимая числовая ось не имеет с действительной ничего общего... А, нет - имеет.
Одну точку. Ту, которая ноль. Ноль - он такой: что на него ни умножь - всё в ноль превратит. За сим, что действительный ноль, что мнимый - всё ноль.

Tags: Геометрия, Смысл математики
Subscribe

  • Ожидания

    Иногда бывает, что-то такое придумаешь для своих учеников-школьников, и думаешь: «Вот как нам всем будет интересно!» и собираешь материалы, покупаешь…

  • Странности самолетов

    Таки да, плоскоземельщики правы, маршруты самолетов построены очень странно для шарообразной земли и очень естественно для плоской земли. С…

  • На примере котиков

    Разве можно спокойно пройти мимо мирно спящего кота?.. Вот котик уютно свернулся или наоборот вольно раскинул лапы, лежа кверху пузом... смотрю на…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 0 comments