marta_inj (marta_inj) wrote,
marta_inj
marta_inj

Category:

В поисках смысла математической терминологии



Псевдовекторное нелинейное отображение

По маршруту «парамагнитные свойства ароматических молекул» -> «ЭПР» -> «…взаимодействие спинов электронов с их орбитальными моментами…» добрелось до:

Момент – характеризует количество вращательного движения.

...вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Пожалуй, наибольшую роль, момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Момент импульса относительно точки является псевдовектором, относительно оси – псевдоскаляром.

Псевдовектор – это когда вектор при повороте системы координат ведет себя как вектор, а при отражении превращается в противоположно направленный. Псевдовектор всегда перпендикулярен двум исходным векторам…

Псевдоскаляр – величина, зависящая от системы координат, действительное число, меняющее знак при замене направления оси на противоположное

Примеры псевдоскаляров: удельное вращение плоскости поляризации, угол, площадь, поверхность.

Скаляр – это характеристика, не зависящая от системы координат.
Примеры скаляров: объем тела, масса тела, температура тела, плотность.
Симметричные тензоры 2-го ранга: электропроводность и теплопроводность, диэлектрическая и магнитная проницаемости твердых тел.


Определитель матрицы: по модулю равен объему (в трехмерном случае), но объем является скаляром, а определитель матрицы – псевдоскаляр.
-----------

Дифференцирование - это линейное преобразование пространства тригонометрическим многочленов типа
f(t)=a0 + a1 Cos(t) + b1 sin(t)+...+an cos(nt) + bn sin(nt)

Дифференцирование устанавливается изоморфизм между линейными пространствами нечетных тригонометрических многочленов вида
b1 sin(t) + b2 sin(2t)+...+bn sin(nt)
и частных тригонометрических многочленов вида
a1 cot(t) + a2 cos(2t)+...+ an cos(nt)

----------------

Теорема Нетер: Если свойства системы не меняются от какого-либо преобразования, этому соответствует какой-то закон сохранения, или "каждому непрерывному преобразованию симметрии отвечает закон сохранения некоторой физической величины, связанной с указанной симметрией"

---------------

Есть уравнения линейного отображения:


В заданной система координат линейное отображение характеризуется квадратной матрицей А, составленной из коэффициентов линейного отображения.

При невырожденном отображении детерминант не равен нулю, и есть одно решение уравнения, то есть одна точка пересечения двух функций. В линейном отображении одной точке М соответствует одна точка М1.

Обратное отображение также линейно, если есть матрица, обратная матрице А.

Если det равен нулю, то отображение не имеет обратного и не устанавливает взаимно однозначного отображения плоскости в себя.

Матрица ортогональна (две плоскости перпендикулярны друг другу) если:
- сумма квадратов элементов строки/столбца равна единице
- сумма парных произведений элементов строки/столбца на соответствующие элементы строки/столбца равна нулю
---------------

Что такое grad, div и rot?

Если одним словом - то это ОПЕРАТОРЫ.
Чисто математически это "вектор" с "координатами" d/dx, d/dy и d/dz, называемый наблой (в кавычках, потому что это не числа, как для обычного вектора, а ОПЕРАЦИИ - в данном случае операция дифференцирования; производные - частные) , однако формальная запись результата применения такой операции не отличается от того, что была бы для обычного вектора. В частности, дивергенция - это результат скалярного произведения наблы на векторное поле, а ротор - результат векторного произведения наблы на векторное поле (то есть поля, в каждой точке которого задан некоторый вектор).
Несколько особняком стоит градиент, потому что это результат реального дифференцирования СКАЛЯРНОГО поля, то есть вектор, компонентами которого являются частные прозводные скалярного поля U(x, y, z) по x, y, z. В этом случае, хотя и можно записать grad u = набла u, трактовать градент как векторное произведение или произведение вектора на скаляр нельзя.
Физический смысл довольно прост. Градиент показывает, куда быстрее всего изменяется скалярное поле. Скажем, для поля тяготения градиент показывает направление самого крутого подъёма. Дивергенция векторного поля показывает, есть ли у этого поля "источники", то есть точки, откуда растут силовые линии (пример - электрические заряды) . Ротор показывает, насколько силовые линии поля отличается от прямых. Например, поле одиночного электрического заряда или поле плоского конденсатора - это прямые линии. А вот магнитного поля с прямыми линиями не существует (поскольку не существует магнитных зарядов).

Tags: Смысл математики
Subscribe

  • Невидимая рука

    Когда человек в радости, его ничего не раздражает, люди кажутся симпатичными, жизнь прекрасна, тело легкое, усталости почти нет, а если и есть, то…

  • Психоструктура под названием "личность", и как она портит нам жизнь

    Личность – это то, что мы себе придумали. Мы думаем: «Я – хороший человек, я ответственный/инициативный/общительный/добрый/отзывчивый». Мы же…

  • Что такое морок?

    Из комментариев под видео рассуждения про то, как сознание "заклинивает" на мыслях, как плохо дома и как хорошо за границей: А вот так и…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 3 comments